Tema 7

TEMA 7: Teoría de la probabilidad: Conceptos básicos. Distribución y reglas básicas de la probabilidad. Teorema de Bayés. Distribución de probabilidad discreta: binomial y de Poisson. Distribución de probabilidad continua: normal o campana de Gauss. 

PROBABILIDAD:

- El concepto de probabilidad es muy frecuente para comunicarnos y entendernos

- Se expresa mediante un número entre 0 y 1 (o en porcentajes)

-  Esta estimación sobre la probabilidad de ocurrencia del evento nos ayuda a tomar decisiones.

- Cuanto más probable es que ocurre un evento, su medida de ocurrencia estará más próximo a 1 o al
100% y cuanto menos probable, más se aproxima al cero.

- Aunque el concepto es simple, ya que se usa de manera intuitiva, su definición es complicada y tiene tres vertiente:

Probabilidad Subjetiva O Personalística

- La probabilidad mide la confianza que el individuo tiene sobre la certeza de una proposición determinada.

- Por ejemplo: los epidemiólogos se basan en la experiencia para afirmar que el próximo invierno la epidemia de gripe tendrá una probabilidad del 0,0018 (180 casos por 100.000 habitantes).

- Este concepto de las probabilidades ha dado lugar al enfoque de análisis de datos estadísticos llamado “Estadística Bayesiana”.

Probabilidad Clásica O “A Priori” 

Ley de los Grandes números

Probabilidad Relativa O “A Posteriori”

- Estas tres teorías han sido comentadas anteriormente, por lo que no veo la necesidad de repetir nuevamente dichos conceptos.

Eventos o Sucesos

- Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral, por lo que son probabilidades que se pueden representar

- Se llama suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados

- Se llama evento complementario de un suceso A, al formado por los elementos que no están en A y se denota Ac

- Se llama evento unión de A y B, AUB, al formado por los elementos experimentales que están en A o en B (incluyendo todos los que están en ambos)

- Se llama evento intersección de A y B, AnB al formado por los elementos que están en A y B

Reglas básicas: Teoría de la Probabilidad

- Las probabilidades siempre oscilan entre 0 y 1

- La probabilidad de un suceso contrario es igual a 1 menos la probabilidad del suceso

    – P (A´)= 1-P(A)

- La probabilidad de un suceso imposible es 0

- La unión de A y B es:

      – P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A П B)

- La probabilidad condicionada de un suceso A a otro B se expresa:

Teorema de Bayes

Expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

En términos más generales el teorema de Bayes que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A.

Distribución de probabilidad en variables discretas: Binomial y Poisson

Distribución binomial

• La distribución binomial es un modelo matemático de distribución teórica de (la normal es con variables continuas) variables discretas

   – Cuando se producen situaciones en las que sólo existen dos posibilidades (cara/cruz; sano/enfermo…)

   – El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

   – La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de `A es 1- p y la representamos por q .

    – El experimento consta de un número n de pruebas.

Distribución binomial

• Mediante esta distribución se resuelven los problemas que plantean:

   – Si al hacer un experimento hay una probabilidad p de que ocurra un suceso ¿Cuál es la probabilidad de que en N experimentos el suceso ocurra X veces?

     • P: probabilidad de ocurrencia; q de no ocurrencia

     • X: numero sucesos favorables

     • N: número total de ensayos

  – Y… recordar que por definición el factorial de un número 0 es igual a 1

Distribución de Poisson

- Introducción

La distribución de Poisson nos permite obtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros (eventos que ocurren con poca frecuencia) cuyo resultado se representa una variable discreta

- Utilidad

1. La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados.

2. Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto

3. Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña

4. Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo definido

Distribuciones normales

Tipificación de valores en una normal:

• Extrapolando aparecen los principios básicos de las distribuciones normales y podemos tipificar valores de una normal:

 – ± 1S → 68,26% de las observaciones

 – ± 2S  → 95,45% de las observaciones

 – ± 1,95S → 95% de las observaciones

 – ± 3S →  99,73% de las observaciones

 – ± 2,58S → 99% de las observaciones

Tipificación de los valores y su relación con la campana de Gauss

La tipificación de la valores se puede realizar sí …

• Trabajamos con una variables continuas que:

    – Sigue una distribución normal (TLC)

    – Y tiene más de 100 unidades (LGN)

• La tipificación nos permite conocer si otro valor corresponde o no a esa distribución de frecuencia

Sabemos por la forma de la curva que…

• La media coincide con lo más alto de la campana: 8

• La desviación típica es de 2 puntos

   – El 50% tiene puntuaciones>8

   – El 50% tiene puntuaciones<8

   – Aproximadamente el 68% puntúa entre 6 y 10

      • media +/- 1 desviación típica: 68%

             – 8+/-1: 6-10

      • Media +/- 2 desviación típica: 95%

             – 4-12

      • Media +/- 3 desviación típica: 99%

             – 2-14

En la próxima entrada encontrareis varios ejercicios resueltos, sobre los conocimientos adquiridos en este tema.